Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N thuộc cạnh AB sao cho AN = 3NB. Nhữn

28/40

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$là tam giác vuông cân tại $B$, cạnh $AB = 2a$. Cạnh bên $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = 2a$. Gọi $M$là trung điểm của cạnh $BC$và $N$thuộc cạnh $AB$ sao cho $AN = 3NB$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Thể tích của khối chóp $S.ABC$bằng $\frac{{4{a^3}}}{3}$.

2. Khoảng cách từ điểm $A$đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $a\sqrt 3 $.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$và $BC$bằng $2a$.

4. Góc giữa đường thẳng $SM$và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ khoảng $48^\circ $(kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$và $CN$ bằng $\frac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}$.

Giải thích

$Có $ME$ là đường trung bình của \(\D (ảnh 1)$

1. Đúng. Có ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{6} \cdot 2a \cdot {\left( {2a} \right)^2} = \frac{{4{a^3}}}{3}$.

2. Sai. Hạ $AH \bot SB$(1).

Có $BC \bot AB$ và $BC \bot SA$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$. Do đó $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 $.

3. Đúng. Có $SA \bot AB,AB \bot BC$ nên $d\left( {SA,BC} \right) = AB = 2a$.

4. Sai. Có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AM$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Khi đó $\left( {SM,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \widehat {SMA}$.

Vì $M$là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC = a$.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $B$, có $AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 $.

Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SMA} \approx 42^\circ $.

5. Sai.

$Có $ME$ là đường trung bình của \(\D (ảnh 2)$

Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, kẻ $ME//CN\left( {E \in AB} \right)$ $ \Rightarrow CN//\left( {SME} \right)$.

Khi đó $d\left( {SM,CN} \right) = d\left( {CN,\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)$.

Lại có $\frac{{d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right)}} = \frac{{NE}}{{AE}} = \frac{{\frac{1}{2}NB}}{{\frac{7}{2}NB}} = \frac{1}{7}$.

Kẻ $AK \bot ME$, Kẻ $AJ \bot SK$(3).

Có $AK \bot ME$ mà $ME \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)$ nên $ME \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ME \bot AJ$ (4).

Từ (3) và (4), suy ra $AJ \bot \left( {SME} \right)$.

Khi đó $d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = AJ$.

Có ${S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}MB \cdot AE = \frac{1}{2}MB \cdot \frac{7}{8}AB = \frac{7}{{16}} \cdot a \cdot 2a = \frac{7}{8}{a^2}$.

Có $CN = \sqrt {B{C^2} + B{N^2}} = \sqrt {4{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}$.

Có $ME$ là đường trung bình của $\Delta BCN$ nên $ME = \frac{1}{2}CN = \frac{{a\sqrt {17} }}{4}$.

Lại có ${S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}AK \cdot ME = \frac{7}{8}{a^2} \Rightarrow AK = \frac{{7a}}{{\sqrt {17} }}$.

Xét $\Delta SAK$ vuông tại $A$, có $\frac{1}{{A{J^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{{17}}{{49{a^2}}} = \frac{{117}}{{196{a^2}}}$$ \Rightarrow AJ = \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}}$.

Suy ra $d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7}d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}} = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{39}}$. Chọn ý 1, 3.