Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc (ABC). Mặt phẳng

Gọi \(I\) là trung điểm của BC suy ra \(AI \bot BC\) tại I.

Ta có \(SA \bot BC \Rightarrow (SAI) \bot BC \Rightarrow SI \bot BC.\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\,\,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SIA} = 30^\circ .\)

Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SI,\) \(AH \subset (SAI) \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow d\left( {A,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a.\)

• Xét tam giác AHI vuông tại \(H\) suy ra \(AI = \frac{{AH}}{{\sin 30^\circ }} = 2a.\)

Giả sử tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \(x\), mà \[AI\] là đường cao.

• Xét tam giác \[ABI\] vuông tại \(I\) suy ra: \(x = AB = \frac{{AI}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Diện tích tam giác đều \[ABC\] là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\)

• Xét tam giác \[SAI\] vuông tại \(A\) suy ra \(SA = AI \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{8{a^3}}}{9}.\) Chọn A.