Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc (ABC)

Gọi \(I\) là trung điểm của BC suy ra góc giữa \(mp\left( {SBC} \right)\) và \(mp\left( {ABC} \right)\) là \[\widehat {SIA} = 30^\circ .\]

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên SI suy ra \[d\left( {A,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a.\]

Xét tam giác \[AHI\] vuông tại \(H\) suy ra \(AI = \frac{{AH}}{{\sin 30^\circ }} = 2a.\)

Giả sử tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[x.\]

Mà \[AI\] là đường cao suy ra \(2a = x\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Diện tích tam giác đều \[ABC\] là \({S_{ABC}} = {\left( {\frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\)

Xét tam giác \[SAI\] vuông tại \(A\) suy ra \(SA = AI \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{8{a^3}}}{9}.\) Chọn A.