Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC) góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
Giải thích
Đáp án A
Ta có SA⊥(ABC)⇒AB là hình chiếu của SB lên .
(SB,(ABC))^=(SB,AB)^=SBA^=60°.
Dựng hình bình hành ACBD.
Ta có: BD//AC⇒(SBD)//AC.
⇒d(AC;SB)=d(AC;(SBD))=d(A;(SBD)).
Do tam giác ABC đều ⇒AC=CB=AB=a.
Mà AC=BD;CB=AD⇒AB=AD=BD=a⇒ΔABD đều cạnh a.
Gọi M là trung điểm của BD⇒AM⊥BD và AM=a32 {BD⊥AMBD⊥SA(SA⊥(ABCD))⇒BD⊥(SAM).
Ta có: .
Trong (SAM) kẻ AH⊥SM⇒AH⊥BD(BD⊥(SAM))⇒AH⊥(SBD).
.
Xét tam giác vuông SAB ta có SA=AB.tan60°=a3.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: AH=SA.AMSA2+AM2=a3.a323a2+3a24=a155.
Vậy d(AC;SB)=a155.