Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC) góc giữa

SA⊥(ABC) nên AB là hình chiếu của SB lên (ABC)

\[ \Rightarrow \widehat {(SB,(ABC))} = \widehat {(SB,AB)} = \widehat {SBA} = 60^\circ \]

\[ \Rightarrow SA = AB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \]

Dựng d qua B và d // AC

Dựng AK ⊥ d tại K

Dựng AH ⊥ SK tại H

Ta có: BK ⊥ AK và BK ⊥ SA nên BK ⊥ (SAK)

Þ BK ⊥ AH

Mà SK ⊥ AH

Þ AH ⊥ (SBK)

Lại có:BK // AC; SK Ì (SBK); AC Ë (SBK)

Suy ra AC // (SBK)

Þ d(AC, SB) = d(A, (SBK)) = AH

Gọi M là trung điểm của AC suy ra BM ⊥ AC

Mà BK ⊥ AK và BK // AC nên AK ⊥ AC

Do đó AKBM là hình bình hành

\[ \Rightarrow AK = BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Xét tam giác SAK vuông tại A ta có:

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\]

 \[AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\]

Vậy \[d(AC,SB) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\].