Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc (ABC)

89/100

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a,SA \bot (ABC)$, góc giữa SC và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30 °$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

$\frac{{a\sqrt 3 }}{{13}}$.

$\frac{{2a}}{{\sqrt {13} }}$.

$\frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}$.

$\frac{{a\sqrt {39} }}{3}$.

Giải thích

Phương pháp giải

Bước 1: Do $SA \bot (ABC)$ nên góc giữa SC và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat {SCA}$. Tìm SA

Bước 2: Lấy điểm $D$ sao cho ACBD là hình bình hành. Khi đó $d(SB,AC) = d(AC,(SBD)) = d(A,(SBD))$.

Ta có $\Delta ABD$ đều cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $BD \to AM$

Bước 3: Trong $\Delta SAM$ kẻ $AH \bot SM$ với $H \in SM$. Suy ra $AH \bot (SAM) \Rightarrow d(A,(SBD)) = AH$

Media VietJack

Do $SA \bot (ABC)$ nên góc giữa SC và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat {SCA}$. Suy ra $\widehat {SCA} = {30^^\circ }$ Trong tam giác SCA vuông tại $A$:

Có $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \leftrightarrow SA = AC.\tan \widehat {SCA} = a.\tan {30^^\circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Lấy điểm $D$ sao cho ACBD là hình bình hành.

Khi đó $d(SB,AC) = d(AC,(SBD)) = d(A,(SBD))$.

Ta có $AB = BD = AD \Rightarrow \Delta ABD$ đều cạnh $a$.

Gọi $M$ là trung điểm BD. Suy ra $AM \bot BD$ và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Trong $\Delta SAM$ kẻ $AH \bot SM$ với $H \in SM$.

Do $\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AM}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right\} \Rightarrow BD \bot (SAM) \Rightarrow BD \bot AH$.

Suy ra $AH \bot (SAM) \Rightarrow d(A,(SBD)) = AH$.

Trong $\Delta SAM$ vuông tại $A$ ta có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{9}{{3{a^2}}}$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{13}}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}$

Vậy$d(SB,AC) = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}$.