Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc

Ta có A, B lần lượt là hình chiếu vuông góc của S, B lên (ABC).

Suy ra AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC).

Do đó góc tạo bởi SB với đáy là \(\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Tam giác SAB vuông tại A: \(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).

Gọi I là trung điểm BC. Suy ra \(BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\).

Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến.

Suy ra AI cũng là đường cao của tam giác ABC.

Do đó AI ⊥ BC.

Tam giác ABI vuông tại I: \(AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \[V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{4}\].