Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều

49/50

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Biết diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 13πa23. Khi đó thể tích V của khối chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

V=3a34

V=3a32

V=a34

Giải thích

Đáp án D

Ta có diện tích mặt cầu Smc=4πRc2⇒Rc2=Smc4π=13πa234π=13a212 (*).

Gọi Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.

Đặt AB=x⇒SA=ACtan60°=x3Rday=x33

Áp dụng mô hình 1 (cạnh bên vuông góc với mặt đáy)

Ta có: Rc=Rday2+SA22⇔Rc2=Rday2+SA22=x332+x322=13x212 (2*).

Từ (*) và (2*), suy ra: x=a⇒SA=a3SABC=a234.

Khi đó VS.ABC=13SA.SABC=a34.