Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = 1 , AD = 2 . Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD )

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\).

Vì \(\Delta SAD\) đều nên \(SH \bot AD\) mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Hạ \(HI \bot BD\) và \(SH \bot BD\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BD \bot \left( {SHI} \right)\).

Hạ \(HK \bot SI\) và \(HK \bot BD\left( {BD \bot \left( {SHI} \right)} \right)\) nên \(HK \bot \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = HK\).

Có \(\Delta DIH\) đồng dạng \(DAB\) nên \(\frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{IH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{IH}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow IH = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Có \(\Delta SAD\) đều cạnh bằng 2 nên \(SH = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Xét \(\Delta SHI\) vuông tại \(H\), có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{3} + 5 = \frac{{16}}{3} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Lại có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{AD}}{{HD}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} \approx 0,87\).

Trả lời: 0,87.