Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH vuông góc với mp(ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

12/16

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH vuông góc với mp(ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

\[\alpha = {60^0}\]

\[\alpha = {30^0}\]

\[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\]

\[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\]

Giải thích

Gọi I là trung điểm \[{\rm{AS}} \Rightarrow {\rm{BI}} \bot {\rm{SA}}\]

Ta có:\[SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\]

Mà \[AD \bot AB\] nên \[AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot BI\]

Suy ra\[BI \bot (SAD) \Rightarrow \alpha = \widehat {IDB}\]

Ta có: \[BI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2},BD = AB\sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\]

Đáp án cần chọn là: D