Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

Gọi O là tâm của đáy, suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2}\\{ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right).}\end{array}\]

Gọi J là trung điểm CD, suy ra \[OJ \bot CD\]

Gọi K là hình chiếu của O trên SJ, suy ra\[OK \bot SJ\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot OJ}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SOJ) \Rightarrow CD \bot OK(2)\)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OK = \frac{{SO.OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }}\]

Ta có :\[SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2} \Rightarrow OK = \frac{{\frac{{a\sqrt {14} }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {14} }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\]

Vậy\[d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2.OK = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}.\]

Đáp án cần chọn là: B