Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AB = 3,AD = 6,SA = 6\). Điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy

Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), các cạnh \(AB = 3\), \(AD = 6\), \(SA = 6\).

Hệ trục tọa độ có gốc \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B \in Ox \Rightarrow B\left( {3;0;0} \right)\), \(D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;6;0} \right)\), \(S \in Oz \Rightarrow S\left( {0;0;6} \right)\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên điểm \(C\) có tọa độ \(C\left( {3;6;0} \right)\).

a) Đúng. Tọa độ các điểm chính xác là \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(D\left( {0;6;0} \right)\), \(S\left( {0;0;6} \right)\).

b) Sai. Trọng tâm \(G\) của tam giác \(SBD\) có tọa độ:

\({x_G} = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1,\quad {y_G} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2,\quad {z_G} = \frac{{6 + 0 + 0}}{3} = 2 \Rightarrow G\left( {1;2;2} \right)\).

Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {CG} \): \(\overrightarrow {CG} = \left( {1 - 3;2 - 6;2 - 0} \right) = \left( { - 2; - 4;2} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;6;0} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {CG} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 6 + 2 \cdot 0 = 6 - 24 + 0 = - 18\).

d) Sai. Ta có \(\left| {\overrightarrow {CG} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \); \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {6^2} + {0^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \).

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {CG} \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {CG} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{2\sqrt 6 \cdot 3\sqrt 5 }} \approx - 0,5477 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {BD} } \right) \approx 123,2^\circ \).