Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) và SA = a √ 5 , đáy là tam giác vuông tại A với AB = a , AC = 2a . Dựng AK vuông góc BC và AH vuông góc SK .

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SK\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(SK\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

Đăt \(\alpha  = \left( {SA;\,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA;\,SK} \right) = \widehat {ASK}\).

Ta có \(AK = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Khi đó \(\tan \alpha  = \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{5}\).

a) Đúng: Hai đường thẳng \(BC\) và \(AH\) vuông góc với nhau.

b) Đúng: Đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

c) Sai: Đoạn thẳng \(AK\) có độ dài bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

d) Đúng: Tan góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{2}{5}\).