Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = BC = 2a , hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .

7/50

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B,AB = BC = 2a$, hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, mặt phẳng qua $SM$ và song song với $BC$, cắt $AC$ tại $N$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng $60^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SN$ là

$\frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}$.

$\frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}$.

$\frac{{2a\sqrt {21} }}{7}$.

$\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Giải thích

$Ta có \({P_A} = \f (ảnh 1)$

Theo giả thiết $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right),\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)$

và $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ $.

Mặt phẳng qua $SM$ và song song với $BC$, cắt $AC$ tại $N$ thì $MN//BC$ với $N$ là trung điểm của $AC$.

Qua $N$ vẽ đường thẳng $d$ song song với $AB$.

Gọi I là giao điểm của $d$ và $BC$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $NI,K$ là hình chiếu của $A$ trên $SH$.

Khi đó $AK \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AK = d\left( {A,\left( {SHN} \right)} \right)$.

$AHIB$ là hình chữ nhật nên $AH = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$.

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng $60^\circ $ nên $\widehat {SBA} = 60^\circ $.

$SA = AB \cdot \tan \widehat {SBA} = 2a \cdot {\rm{tan}}{60^ \circ } = 2a\sqrt 3 $.

Ta có $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}$.

Vì $AB//\left( {SHN} \right)$ nên $d\left( {AB,SN} \right) = d\left( {AB,\left( {SHN} \right)} \right) = dA,\left( {SHN} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}$. Chọn A.