Cho hình chóp S . A B C D với đáy A B C D là hình thang có A D / / B C và A D = 2 B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của S A và A D . Mệnh đề nào sau đây đúng?

31/38

Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình thang có \(AD{\rm{//}}BC\) và \(AD = 2BC.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

\(\left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

\(\left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right).\)

\(\left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)

\(\left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S . A B C D với đáy A B C D là hình thang có A D / / B C và A D = 2 B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của S A và A D . Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Vì \(N\) là trung điểm của \(AD\) nên \(NA = ND = \frac{{AD}}{2} = BC.\)

Xét tứ giác \(BCDN\) có: \(ND = BC\) và \(ND{\rm{//}}BC\) (do \(AD{\rm{//}}BC\)).

Suy ra \(BCDN\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow NB{\rm{//}}CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Xét tam giác \(SAD\) có: \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD.\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD.\)

\( \Rightarrow MN{\rm{//}}SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

Ta có: \(NB{\rm{//}}\left( {SCD} \right);\,\,MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) và \(NB \cap MN = N\) trong \(\left( {BMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {BMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)