Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình vuông tâm O cạnh a , S A ⊥ ( A B C D ) , S A = 2 a . Gọi I , J lần lượt

15/22

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$ , $S A ⊥ (A B C D)$ , $S A = 2 a$ . Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $S A, S C$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $S B D$ .

a

\vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O}

.

ĐúngSai

b

\vec{S A} \cdot (\vec{A C} - \vec{A B}) = \vec{0}

.

ĐúngSai

c

6 \vec{I G} = 2 \vec{A B} + 2 \vec{A D} - \vec{A S}

.

ĐúngSai

d

Lấy điểm

M

thoả mãn

\vec{A M} + k \vec{A C} = \vec{0}

. Khi đó

\vec{M G} ⊥ \vec{B D}, \forall k \neq 0

.

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng. Vì đáy $A B C D$ là hình vuông tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của đường chéo $A C$ . Xét tam giác $S A C$ , đường thẳng $S O$ là đường trung tuyến. Theo tính chất hình học vectơ cơ bản, ta có $\vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O}$ .

b) Đúng. Ta biến đổi hiệu hai vectơ: $\vec{A C} - \vec{A B} = \vec{B C}$ .

Do đường thẳng $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, cụ thể là $S A ⊥ B C \Rightarrow \vec{S A} \cdot \vec{B C} = 0$ .

c) Đúng. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $S B D$ nên với một điểm $I$ bất kỳ ta có mối liên hệ: $\vec{I S} + \vec{I B} + \vec{I D} = 3 \vec{I G} \Rightarrow 6 \vec{I G} = 2 \vec{I S} + 2 \vec{I B} + 2 \vec{I D}$ .

Vì $I$ là trung điểm $S A$ nên $2 \vec{I S} = \vec{A S}$ .

Chèn điểm gốc $A$ vào hai vectơ còn lại:

$2 \vec{I B} = 2 (\vec{A B} - \vec{A I}) = 2 \vec{A B} - \vec{A S}$ (vì $2 \vec{A I} = \vec{A S}$ ).

$2 \vec{I D} = 2 (\vec{A D} - \vec{A I}) = 2 \vec{A D} - \vec{A S}$ .

Cộng tổng lại ta được: $6 \vec{I G} = \vec{A S} + 2 \vec{A B} - \vec{A S} + 2 \vec{A D} - \vec{A S} = 2 \vec{A B} + 2 \vec{A D} - \vec{A S}$ .

d) Đúng. Từ $\vec{A M} + k \vec{A C} = \vec{0} \Rightarrow \vec{A M} = - k \vec{A C}$ , suy ra điểm $M$ di động trên đường thẳng $A C$ .

Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ xuống đáy là $A$ , hình chiếu của trọng tâm $G$ xuống đáy nằm trên đoạn thẳng $A C$ . Do đó, đường thẳng hình chiếu của $M G$ xuống đáy trùng với đường thẳng $A C$ .

Mặt khác, trong hình vuông $A B C D$ hai đường chéo vuông góc với nhau: $A C ⊥ B D$ . Theo định lý ba đường vuông góc, ta suy ra đường thẳng không gian $M G ⊥ B D$ với mọi vị trí của điểm $M$ trên đường chéo.