Cho hình chóp S A B C có với S A = 4 và S A ⊥ ( A B C ) . Tam giác ABC vuông tại C có cạnh B C bằng 3. Tính khoảng cách giữa S B và A C .

18/22

Cho hình chóp $SABC$ có với $SA = 4$ và $\,SA\, \bot \left( {ABC} \right)$. Tam giác ABC vuông tại C có cạnh $BC$bằng 3. Tính khoảng cách giữa $SB$và $AC$.

Giải thích

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

$Cho hình chóp $SABC$ có với $SA = 4$ và $\,SA\, \bot \left( {ABC} \right)$. Tam giác ABC vuông tại C có cạnh $BC$bằng 3. Tính khoảng cách giữa $SB$và $AC$. (ảnh 1)$

Đặt $CA = a\,(a > 0)$. Khi đó ta có. $C\left( {0;0;0} \right)\,;\,S\left( {0;0;4} \right);\,A\left( {0;a;0} \right);\,B\left( {3;0;0} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {SB} = \left( {3;0; - 4} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0; - a;0} \right)\\\overrightarrow {SC} = \left( {0;0; - 4} \right)\,\\\left[ {\overrightarrow {SB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 4a;0; - 3a} \right)\,,\,\,\left[ {\overrightarrow {SB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {SC} = 12a\\d\left[ {\overrightarrow {SB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \,\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{12\left| a \right|}}{{\sqrt {16{a^2} + 9{a^2}} }} = \frac{{12\left| a \right|}}{{5\left| a \right|}} = \frac{{12}}{5} = 2,4\end{array}$