Cho hình chóp S . A B C có S A , S B , S C đôi một vuông góc nhau và S A = S B = S C = a . Gọi M là trung điểm của A B . Góc giữa hai vectơ −−→ S M và −−→ B C bằng ............

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}\).

\(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} } \right)\\ =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB}  =  - \frac{1}{2}S{B^2} =  - \frac{{{a^2}}}{2}.\end{array}\).

Tam giác \(SAB\) và \(SBC\) vuông cân tại \(S\) nên \(AB = BC = a\sqrt 2 \). \( \Rightarrow SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} =  - \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\).