Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi M là trung điểm cạnh AB.

Chọn C

Cách 1:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Ta có: \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(C\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\), \(M\left( {\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}\,;\,0} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - a\,;\,0\,;\,a} \right)\),\(\overrightarrow {OM}  = \left( {\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}\,;\,0} \right)\)

⇒cosBC→ ; OM→^=BC→.OM→BC.OM=−a22a.2.a22=−12⇒BC→ ; OM→^=120°

Cách 2:

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{1}{2}O{B^2} =  - \frac{{{a^2}}}{2}\].

\[BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = a\sqrt 2 \] và \[OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

Do đó: cosOM→,BC→=OM→.BC→OM.BC=−a22a22.a2=−12⇒OM→.BC→=120°