Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và

72/235

Cho hình chóp \(O.ABC\) có ba cạnh \[OA\,,\,\,OB\,,\,\,OC\] đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = a.\) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh AB. Biết \(\alpha ^\circ = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {OM} } \right)\). Giá trị của α là (nhập đáp án vào ô trống):

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)}\\{\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} }\end{array}} \right.\) .

Suy ra \(\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} - {{\overrightarrow {OB} }^2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{2}\).

\(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 2 \); \(OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{B^2} + O{B^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Do đó: \(\cos \left( {\overrightarrow {OM} \,,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{OM \cdot BC}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} \,,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = 120^\circ = \alpha ^\circ .\)

Đáp án cần nhập là: 120.