Cho hình chóp O . A B C có ba cạnh O A , O B , O C đôi một vuông góc và O A = O B = O C = a . Gọi M là trung điểm cạnh A B . Tính góc tạo bởi hai vectơ −−→ A C và −−→ O M ?
![Cho hình chóp \[O.ABC\] có ba cạnh \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc và \[OA = OB = OC = a\]. Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[AB\]. Tính góc tạo bởi hai vectơ \[\overrightarrow {AC} \] và \[\overrightarrow {OM} \] ? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/5-1759238371.png)
Có \(M\)là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)
Xét \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} \)=\(\frac{1}{2}a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} + 0\)\( = \frac{{ - 1}}{2}{a^2}\)
Với \(AB = AC = a\sqrt 2 \),\(OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - {a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^0}\)