Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi

10/22

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\[\tan \varphi = \sqrt 6 .\]

\[\tan \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

\[\tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]

\[\tan \varphi = \sqrt 2 .\]

Giải thích

Gọi\[O = AC \cap BD\]. Do hình chóp S.ABCD đều nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Gọi M là trung điểm của SD. Tam giác SCD đều nên\[CM \bot SD\]

Tam giác SBD có\[SB = SD = a,BD = a\sqrt 2 \]

Suy ra\[{\rm{\Delta }}\,SBD\] vuông tại\[S \Rightarrow SB \bot SD \Rightarrow OM \bot SD.\]

Do đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(SBD) \cap (SCD) = SD}\\{(SBD) \supset OM \bot SD}\\{(SCD) \supset CM \bot SD}\end{array}} \right. \Rightarrow ((\widehat {SBD);(SCD})) = (\widehat {OM;CM}) = \widehat {OM}\)

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OC \bot BD}\\{OC \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow OC \bot (SBD) \Rightarrow OC \bot OM\)

Tam giác vuông MOC vuông tại O, có\[\tan \widehat {CMO} = \frac{{OC}}{{OM}} = \frac{{\frac{1}{2}a\sqrt 2 }}{{\frac{1}{2}a}} = \sqrt 2 \]

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: D