Cho hình chóp đều S.ABCD có SA=a căn5, AB=a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP) ?

23/50

Cho hình chóp đều S.ABCD có SA=a5,AB=a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP)?

22.

12.

32.

156.

Giải thích

Đáp án A

Cho hình chóp đều S.ABCD có SA=a căn5, AB=a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP) ? (ảnh 1)

Dễ dàng chứng minh được MNPQ đồng phẳng và (MNPQ)//(ABCD) dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

⇒(DN,(MQP))^=(DN,(MNP))^=(DN,(ABCD))^.

Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥(ABCD).

Gọi H là trung điểm của OB.

Xét tam giác SOB có NH là đường trung bình

⇒NH//SO⇒NH⊥(ABCD).

DH là hình chiếu của DN trên .

⇒(DN,(ABCD))^=(DN,DH)^=NDH^.

ABCD là hình vuông cạnh a⇒BD=a2⇒DH=34BD=3a24, OB=12BD=a22.

Xét tam giác vuông SOB có SO=SB2−OB2=3a2⇒NH=12SO=3a22.

Xét tam giác vuông NHD có: ND=NH2+HD2=9a28+9a28=3a2.

⇒cosNDH^=DHND=3a243a2=22.