Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 độ. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

27/50

Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \[60^\circ \]. Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \[S.ABCD\].

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\].

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\].

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\].

\[V = \frac{{{a^3}}}{3}\].

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 độ. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD (ảnh 1)

Gọi \(O = AC \cap BD.\) Do \[S.ABCD\] là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(ABCD\)là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(OB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \[60^\circ {\rm{ = }}\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO}\].

Tam giác vuông \(SOB\), có \(SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)

Diện tích hình vuông \(ABC\) là \[{S_{ABCD}} = A{B^2} = {a^2}.\]

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)