Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a

35/50

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng

\[\frac{{a\sqrt {165} }}{{30}}.\]

\[\frac{{a\sqrt {165} }}{{45}}.\]

\[\frac{{a\sqrt {165} }}{{15}}.\]

\[\frac{{2a\sqrt {165} }}{{15}}.\]

Giải thích

Đáp án C

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a (ảnh 1)

Kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\), gọi \(K = AH \cap BC\).

Kẻ \(HP \bot {\rm{S}}K \Rightarrow d\left( {A;(SBC)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H;(SBC)} \right) = \frac{3}{2}HP = d\).

Ta có \(\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}}\). Cạnh \(HK = \frac{{AB}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\)

\(S{H^2} = S{A^2} - A{H^2} = 4{{\rm{a}}^2} - {\left( {\frac{{AB}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{{11{{\rm{a}}^2}}}{3}\)

\( \Rightarrow HP = a\sqrt {\frac{{11}}{{135}}} \Rightarrow d\left( {A;(SBC)} \right) = \frac{{a\sqrt {165} }}{{15}}\).