Cho hình chóp đều $S . A B C D$có đáy $A B C D$là hình vuông, chiều cao hình chóp bằng $3$. Thiết lập hệ trục toạ độ $O x y z$sao cho gốc toạ

20/22

Cho hình chóp đều $S . A B C D$có đáy $A B C D$là hình vuông, chiều cao hình chóp bằng $3$. Thiết lập hệ trục toạ độ $O x y z$sao cho gốc toạ độ $O$đặt tại tâm của hình vuông, chiều dương của trục $O z$đi qua $S$. Biết toạ độ điểm $C \left(\right. 2 ; 0 ; 0 \left.\right)$và toạ độ của $\overset{\rightarrow}{S A} = \left(\right. a ; b ; c \left.\right)$. Tính $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}$.

Giải thích

- Do hệ trục có gốc $O$ là tâm đáy hình vuông và đường cao hình chóp trùng với phần dương trục $O z$ , chiều cao bằng $3$ nên đỉnh $S$ nằm trên trục cao độ và có tọa độ là $S (0; 0; 3)$ .

- Điểm $C$ nằm trên trục hoành có tọa độ cho trước $C (2; 0; 0)$ . Vì tâm $O$ là trung điểm của đường chéo hình vuông đáy $A C$ , nên tọa độ điểm $A$ đối xứng qua gốc tọa độ sẽ có dấu ngược lại với điểm $C$ , tức là $A (- 2; 0; 0)$ .

Từ tọa độ hai điểm $S$ và $A$ , ta lập tọa độ vectơ chỉ phương $\vec{S A}$ :

$\vec{S A} = (x_{A} - x_{S}; y_{A} - y_{S}; z_{A} - z_{S}) = (- 2 - 0; 0 - 0; 0 - 3) = (- 2; 0; - 3)$ .

Đồng nhất với hệ thức bài toán $\vec{S A} = (a; b; c)$ , ta có $a = - 2, b = 0, c = - 3$ .

Biểu thức tổng bình phương cần tính là: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (- 2)^{2} + 0^{2} + (- 3)^{2} = 4 + 0 + 9 = 13$ .

Đáp số: 13.

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 THPT Nguyễn Gia Thiều - HN

Cho hình chóp đều \(S . A B C D\)có đáy \(A B C D\)là hình vuông, chiều cao hình chóp bằng \(3\). Thiết lập hệ trục toạ độ \(O x y z\)sao cho gốc toạ