Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại A. Hình chiếu của S lên mặt phẳng

47/234

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại \[A.\] Hình chiếu của \[S\] lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC,\,\,AB = a,\,\,AC = a\sqrt 3 ,\,\,SB = a\sqrt 2 .\) Thể tích của khối chóp \[S.ABC\] bằng:

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)

Giải thích

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại A. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ảnh 1)

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2a.\)

Vì \(H\) là trung điểm của \[BC\] nên \(BH = a.\)

Xét tam giác \[SBH\] vuông tại \(H\) có:

\(SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {a^2}} = a.\)

Diện tích đáy \[ABC\] là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}{a^2} \cdot \sqrt 3 .\)

Thể tích của khối chóp \[S.ABC\] là: \(V = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2}{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\) Chọn C.