Cho hình cầu tâm O, bán kính R=5 tiếp xúc với mặt phẳng (p). Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên
34/150
Cho hình cầu tâm \(O\), bán kính \(R = 5,\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right).\) Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên \(\left( P \right)\), có chiều cao \(h = 15\) và bán kính đáy bằng \[R.\] Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right).\) Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\) và thu được hai thiết diện có tổng diện tích là S. Gọi \(x\) là khoảng cách giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right),\,\,(0 < x \le 5).\) Biết rằng \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{a}{b}\) (phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của biểu thức \(T = a + b\) là
\(T = 17.\)
\(T = 19.\)
\(T = 18.\)
\(T = 23.\)
Gọi \(G\) là tâm của thiết diện cắt bởi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và mặt cầu.
Theo giả thiết ta có \(OA = OB = OH = R = 5\) và \(HG = x.\)
GF là bán kính của đường tròn thiết diện. Khi đó \(GF = \sqrt {{5^2} - {{(5 - x)}^2}} = \sqrt {10x - {x^2}} .\)
Gọi \({S_1}\) là tâm của thiết diện cắt bởi mặt phẳng \((Q)\) và mặt cầu.
Gọi \(M\) là tâm của thiết diện cắt bởi \((Q)\) và hình nón.
Theo giả thiết ta có \(MI = x\) và \(\frac{{SM}}{{SI}} = \frac{{ML}}{{ID}} \Rightarrow ML = \frac{{SM \cdot ID}}{{SI}} = \frac{{\left( {15 - x} \right) \cdot 5}}{{15}} = 5 - \frac{x}{3}{\rm{. }}\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích thiết diện của mặt phẳng \((Q)\) và hình nón. Ta có \({S_2} = \pi {\left( {5 - \frac{x}{3}} \right)^2}\)
Do đó \(S = {S_1} + {S_2} = \pi \left[ {10x - {x^2} + {{\left( {5 - \frac{x}{3}} \right)}^2}} \right] = \pi \left( { - \frac{8}{9}{x^2} + \frac{{20}}{3}x + 25} \right)\)
Ta có \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(f(x) = - \frac{8}{9}{x^2} + \frac{{20}}{3}x + 25\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{4}.\)
Theo đề ra ta có: \(x = \frac{a}{b} = \frac{{15}}{4} \Rightarrow T = a + b = 19.\) Chọn B.