Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính bằng 2a. Xét khối nón đỉnh O, có đường tròn đáy

Khối nón đỉnh \(O\), có đường tròn đáy nằm trên \(\left( S \right)\) nên đường sinh của khối nón bằng bán kính của mặt cầu.

Xét khối nón như hình với \(I\) và trung điểm AB.

Vì góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng \(60^\circ \) nên \(\widehat {OAI} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow OI = AI \cdot \tan 60^\circ  = AI\sqrt 3 \) (1)

Ta có: \(A{I^2} + O{I^2} = O{A^2} = 4{a^2}\)

Từ (1), (2) ta có \(OI = a\sqrt 3 \,,\,\,AI = a\).

Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi A{I^2} \cdot OI = \frac{1}{3}\pi {a^2} \cdot a\sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\). Chọn B.