Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của AC và BD

a) Theo giả thiết ta có: AM = MN = NC = \(\frac{1}{3}AC\)

Lại có: ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường. Nên: OA = OC = OB = OD

Mà OA = AM + OM; OC = ON + NC

Suy ra: OM = ON hay O là trung điểm của MN

Xét tứ giác BMDN có:

O là trung điểm MN

O là trung điểm BD

Do đó: BMDN là hình bình hành

b) Ta có: ON + NC = OC

ON + \(\frac{1}{3}AC\) = \(\frac{1}{2}AC\)

ON = \(\frac{1}{6}AC\)

Suy ra: \(\frac{{ON}}{{OC}} = \frac{{\frac{1}{6}AC}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác BDC có: O là trung điểm BD nên CO là đường trung tuyến của BDC

Mà \(\frac{{ON}}{{OC}} = \frac{1}{3};\frac{{CN}}{{CO}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra: N là trọng tâm của tam giác BDC.