Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy M, N sao cho DM = MN = NB

a. Do ABCD là hình bình hành nên OD = OB ⟺ DM + MO = ON + NB

Mà DM = NB (gt) ⇒ MO = NO

b. Theo chứng minh a. Ta có \(MO = NO = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}DM\)

Do đó \(OM = \frac{1}{3}DO\)

Vậy M là trọng tâm của ∆ADC

Do đó AP là đường trung tuyến của ∆ADC ⇒ P là trung điểm của DC

Chứng minh tương tự ta có Q là trung điểm của AB

Xét ∆DBC có: P là trung điểm của DC, O là trung điểm của DB

Do đó OP là đường trung bình trong ∆ACB \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OP//CB}\\{OP = \frac{1}{2}CB}\end{array}} \right.\)

Tương tự ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OQ//CB}\\{OQ = \frac{1}{2}CB}\end{array}} \right.\)

Vậy O, P, Q thẳng hàng, OP = OQ

Vậy Q, P đối xứng với nhau qua O.