Cho hình bình hành ABCD, qua C kẻ đường thẳng song song BD cắt AB ở E, cắt AD ở F. a) Tứ giác BECD là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh 3 đường thẳng AC, BF, DE đồng quy (cùng đi qua 1 điểm).

Lời giải

a) Tứ giác BECD là hình bình hành vì BE // CD (giả thiết) và CE // BD (giả thiết).

b) Ta có DF // BC (giả thiết) và BD // CF (giả thiết).

Suy ra BCFD là hình bình hành.

Do đó CF = BD   (1)

Lại có BECD là hình bình hành (chứng minh trên).

Suy ra CE = BD   (2)

Từ (1), (2), suy ra CF = CE.

Do đó CA là đường trung tuyến của tam giác AEF (*)

Ta có FD = BC (do BCFD là hình bình hành) và AD = BC (do ABCD là hình bình hành).

Suy ra DF = AD.

Do đó DE là đường trung tuyến của tam giác AEF   (**)

Chứng minh tương tự, ta được BF là đường trung tuyến của tam giác AEF   (***)

Từ (*), (**), (***), suy ra ba đường thẳng AC, BF, DE đồng quy tại trọng tâm của tam giác AEF.

Vậy ta có điều phải chứng minh.