Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Qua O vẽ đường thẳng a cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đường thẳng b cắt AB và CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ gi

 

Lời giải

Do ABCD là hình bình hành nên ta có:

+) \(AB\;{\rm{//}}\;{\rm{CD}} \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\)(Haigóc ở vị trí sole trong).

\( \Rightarrow \widehat {KBO} = \widehat {HDO}\).

+) \(AD\;{\rm{//}}\;B{\rm{C}} \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {ACB}\)(Haigóc ở vị trí sole trong).

\( \Rightarrow \widehat {EAO} = \widehat {FCO}\).

Xét ∆KOB và ∆HOD có:

\(\widehat {KBO} = \widehat {HDO}\) (cmt)

OB= OD (gt)

\(\widehat {KOB} = \widehat {HOD}\)(Hai góc đối đỉnh)

Þ∆KOB = ∆HOD (g.c.g)

Þ OK= OH (Hai cạnh tương ứng bằng nhau) (1)

Xét ∆EOA và ∆FOC có:

\(\widehat {EAO} = \widehat {FCO}\) (cmt)

OA= OC (gt)

\(\widehat {EOA} = \widehat {FOC}\)(Hai góc đối đỉnh)

Þ∆EOA = ∆FOC (g.c.g)

Þ OE= OF (Hai cạnh tương ứng bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác EKFH có hai cặp cạnh đối thỏa mãn OK= OH và OE= OF.

Suy ra EKFH là hình bình hành.