Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường chéo BD với AN, CM. Khẳng định nào sau đây là sai?

Chọn C.

⦁ Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = CD.\)

Do \(M,N\) là trung điểm nên \(AM\,{\rm{//}}\,CN\) và \(AM = CN,\) chứng tỏ \(AMCN\) là hình bình hành. Từ đó suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM.\) Vậy khẳng định B và D là đúng.

⦁ Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC.\)

Trong \(\Delta ADC,\) hai đường trung tuyến \(DO\) và \(AN\) cắt nhau tại \(P,\) do đó \(P\) là trọng tâm của \(\Delta ADC,\) suy ra \(DP = \frac{2}{3}DO = \frac{1}{3}BD.\)

Chứng minh tương tự, \(Q\) là trọng tâm \(\Delta ABC,\) suy ra \(BQ = \frac{1}{3}BD.\)

Khi đó \(PQ = BD - DP - BQ = \frac{1}{3}BD.\)

Vậy \(DP = PQ = QB.\) Khẳng định A là đúng.

⦁ Dễ dàng chứng minh được \[\Delta ADP = \Delta CBQ\] (c.g.c). Suy ra \[AP = CQ.\]

Tuy nhiên chưa đủ cơ sở để chứng minh hai cạnh trên có độ dài bằng \[PQ.\]