Cho hình bình hành ABCD. Các đường phân giác của các góc lần lượt cắt nhau tại E, F, G, H

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của các đường phân giác với các cạnh của hình bình hành.

Ta có: D1^=D2^=ADC^2 (DN là phân giác ADC^ )

B1^=B2^=ABC^2 (BQ là phân giác ABC^)

Mà ADC^=ABC^(hai góc đối của hình bình hành ABCD)

⇒ D1^=B1^

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD ⇒ Q1^=B1^ (hai góc so le trong)

⇒ Q1^=D1^

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

⇒ DN // BQ hay HE // GF

Ta có: A1^=A2^=DAB^2 (AP là phân giác DAB^)

C1^=C2^=DCB^2(CM là phân giác DCB^)

Mà DAB^=DCB^ (hai góc đối của hình bình hành ABCD)

⇒ A1^=C1^

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD ⇒ A1^=QPG^  (hai góc so le trong)

⇒ C1^=QPB^

⇒ AP //DM hay GH // EF

Xét tứ giác EFGH có:

HE // GF (cmt)

GH // EF (cmt)

⇒ EFGH là hình bình hành (1)

Xét tam giác BFC, có: B2^+C2^=ABC^2+BCD^2=ABC^+BCD^2

Mà ABC^+BCD^ = 180°(hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ B2^+C2^=180°2=90° ⇒ BFC^=180°−B2^+C2^=90°

⇒ EFG^ = 90°(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.