Cho hình bình hành ABCD AB > AD Gọi E và K lần lượt

a) Vì tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành nên \[AB = CD\] và \[AB\,{\rm{//}}\,CD.\] Mà \[AE = \frac{1}{2}AB;\,\,CK = \frac{1}{2}CD\] (vì \[E,\,\,F\] lần luợt là là trung điểm \[AB,\,\,CD\,)\] nên\[AE = CK\] và\[AE\,{\rm{//}}\,CK.\] Do đó tứ giác \[AECK\] là hình bình hành.

b) Do tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành.

Mà \[O\] là giao của \[AC\] và \(BD\)nên \[O\] là trung điểm \[AC\].

Lại có tứ giác\[AECK\] là hình bình hành (câu a) nên\[O\] là trung điểm \[EK.\]

Do đó, ba điểm \[E,{\rm{ }}O,{\rm{ }}K\] thẳng hàng.

c) Vì \(O,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,CD\) nên \(AK,\,\,DO\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ADC.\)

Mà hai đường trung tuyến\(AK\) và \(DO\) cắt nhau tại \(M\) nên \(M\)là trọng tâm \(\Delta ADC.\)

Vì \(E,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\) nên \(AB,\,\,AC\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)

Mà hai đường trung tuyến \(AB\) và \(AC\) cắt nhau tại \(N\) nên \(N\)là trọng tâm \(\Delta ABC.\)

Khi đó\(BN = \frac{2}{3}OB\,;\,\,ON = \frac{1}{3}BO\,;\,\,DM = \frac{2}{3}DO\,;\,\,OM = \frac{1}{3}DO\).(1)

Do tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành.

Mà \[O\] là giao của \(AC\) và \(BD\)nên \[O\] là trung điểm \(BD\) hay \[OB = OD.\] (2)

Từ (1) (2) suy ra\[MD = MN = NB.\]