Cho hệ phương trình mx − ny = 1 và x + my = n với m ≠ 0

a) Với \(m \ne 0,\) ta viết phương trình \(x + my = n\) về dạng \(y =  - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}\).

Do đó đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}\) biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn \(x + my = n\).

Nghiệm tổng quát của phương trình \(x + my = n\) là \(\left( {x;\,\, - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý và \(m \ne 0.\)

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;1} \right)\) thì \(x =  - 1,\,\,y = 1\) thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay \(x =  - 1,\,\,y = 1\) vào hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\x + my = n\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}m \cdot \left( { - 1} \right) - n \cdot 1 = 1\\\left( { - 1} \right) + m \cdot 1 = n\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - m - n = 1\\m - n = 1.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\( - 2n = 2\) suy ra \(n =  - 1.\)

Thay \(n =  - 1\) vào phương trình \(m - n = 1,\) ta được:

\(m - \left( { - 1} \right) = 1,\) suy ra \(m = 0\) (không thỏa mãn \(m \ne 0).\)

Vậy không có cặp số \(\left( {m;\,\,n} \right)\) nào thỏa mãn.