Cho hệ bất phương trình: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y ≥ 5 x − 2 y ≤ 2 y ≤ 3. ( I I ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 x − 5 y + m ≥ 0 nghiệm đúng với mọi cặp số ( x ; y )

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tam giác \(ABC\) với \(A(4;1)\), \(B(8;3),C(2;3)\) (Hình).

Ta có: \(2x - 5y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2x + 5y\).

Đặt \(F =  - 2x + 5y\). Tính giá trị của \(F =  - 2x + 5y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tam giác \(ABC\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 11 tại \(x = 2,y = 3\).

Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \ge {\mathop{\rm Max}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \ge 11\).