Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau . a) Giả sử (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của

a) Vì (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên:

a1x0+b1y0+c1z0=d1a2x0+b2y0+c2z0=d2a3x0+b3y0+c3z0=d3 và a1x1+b1y1+c1z1=d1a2x1+b2y1+c2z1=d2a3x1+b3y1+c3z1=d3

⇒a1x0+b1y0+c1z0+a1x1+b1y1+c1z1=2d1a2x0+b2y0+c2z0+a2x1+b2y1+c2z1=2d2a3x0+b3y0+c3z0+a3x1+b3y1+c3z1=2d3

⇒a1x0+x1+b1y0+y1+c1z0+z1=2d1a2x0+x1+b2y0+y1+c2z0+z1=2d2a3x0+x1+b3y0+y1+c3z0+z1=2d3

⇒a1x0+x12+b1y0+y12+c1z0+z12=d1a2x0+x12+b2y0+y12+c2z0+z12=d2a3x0+x12+b3y0+y12+c3z0+z12=d3

Mặt khác do (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) phân biệt nên x0+x12;y0+y12;z0+z12 cũng đôi một phân biệt với (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1).

Do đó x0+x12;y0+y12;z0+z12 cũng là một nghiệm của hệ.

b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3.

có (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x0; y0; z0), (x1; y1; z1), ..., (xn; yn; zn).

Ta chọn ra hai nghiệm (xi; yi; zi) và (xj; yj; zj) thoả mãn xi và xj là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x0; x1; ...; xn}.

Khi đó, áp dụng câu a) ta được xi+xj2;yi+yj2;zi+zj2 cũng là một nghiệm của hệ.

Mặt khác xi+xj2 khác xi, xj và xi+xj2< max{xi, xj} nên xi+xj2 không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí).

Vậy hệ này có vô số nghiệm.