Cho hàm số y=x+b/ax-2 (ab khác -2). Biết rằng a,b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của

31/150

Cho hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{ax - 2}}\,\,\left( {ab \ne - 2} \right).\) Biết rằng \[a,\,\,b\] là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0.\) Khi đó giá trị của \(a - 3b\) bằng

\[ - 2.\]

\[ - 1.\]

Giải thích

Có \(y' = \frac{{ - ab - 2}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}.\) Do \(A\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \(\frac{{1 + b}}{{a - 2}} = - 2 \Leftrightarrow b = 3 - 2a.\)

Do tiếp tuyến tại \(A\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0\) nên \(y'\left( 1 \right) = - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - ab - 2}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}} = - 3.\)

Thay \(b = 3 - 2a\) ta được phương trình

\[ - a\left( {3 - 2a} \right) - 2 = - 3{\left( {a - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 5{a^2} - 15a + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{a = 2}\end{array}} \right..\]

• Với \(a = 2 \Rightarrow b = - 1\) (loại, do \(ab \ne - 2\))

• Với \(a = 1 \Rightarrow b = 1.\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\) là \[y = - 3\left( {x + 1} \right) + 2\] song song với \[d.\]

Do đó \(a = 1\,,\,\,b = 1.\) Suy ra \(a - 3b = - 2.\) Chọn A.