Cho hàm số y=x^3-(m-2)x^2+3x-1 (C)

Với \(m = 2\), đồ thị \(\left( C \right)\) có 0  điểm cực trị.

Có 1  giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại đúng một điểm.

Giải thích

Với \(m = 2\) ta có \(:y = {x^3} + 3x - 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho không có điểm cực trị.

Phương trình hoành độ giao điểm là : \({x^3} - \left( {m - 2} \right){x^2} + 3x - 1 = 0\,\,\left( {\rm{*}} \right)\).

Vì \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) nên ta có :

\(\frac{{{x^3} + 3x - 1}}{{{x^2}}} = m - 2 \Leftrightarrow x + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} = m - 2\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 1 - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^3}}} = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^3}}}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f\left( x \right) = m - 2\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m - 2 >  - \frac{{15}}{4} \Leftrightarrow m >  - \frac{7}{4}\).

Vậy có duy nhất một giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại đúng một điểm.