Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ
45/50
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ. Đặt \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}.\] Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = g\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 3;3} \right]\] bằng
\[g\left( 0 \right).\]
\[g\left( 1 \right).\]
\[g\left( { - 3} \right).\]
\[g\left( 3 \right).\]
Đáp án C
Ta có \(g'\left( x \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right)\)
Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) \in \left\{ {g\left( 3 \right);g\left( { - 3} \right)} \right\}\)
Ta có \(\int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)} dx > \int\limits_1^3 { - g'\left( x \right)dx} \Leftrightarrow g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) > g\left( 1 \right) - g\left( 3 \right) \Leftrightarrow g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right)\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) bằng \(g\left( { - 3} \right).\)