Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [1;6]

44/50

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {1;6} \right]\] và thỏa mãn \[f\left( x \right) = \frac{{f\left( {2\sqrt {x + 3} - 3} \right)}}{{\sqrt {x + 3} }} + \frac{x}{{\sqrt {x + 3} }}.\] Tính tích phân của \[I = \int\limits_3^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

\[I = \frac{{10}}{3}.\]

\[I = \frac{{20}}{3}.\]

\[I = 4.\]

\[I = \frac{{10}}{3} + \ln 2.\]

Giải thích

Đáp án B

Theo giả thiết ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{f\left( {2\sqrt {x + 3} - 3} \right)}}{{\sqrt {x + 3} }} + \frac{x}{{\sqrt {x + 3} }}\)

Lấy tích phân hai vế cận từ 1 đến 6 ta được: \(\int\limits_1^6 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_1^6 {\frac{{f\left( {2\sqrt {x + 3} - 3} \right)}}{{\sqrt {x + 3} }}d{\rm{x}}} + \int\limits_1^6 {\frac{{x{\rm{dx}}}}{{\sqrt {x + 3} }}} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_1^6 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_1^6 {f\left( {2\sqrt {x + 3} - 3} \right)d\left( {2\sqrt {x + 3} - 3} \right)} + \frac{{20}}{3}\) (Casio ta được \(\int\limits_1^6 {\frac{{x{\rm{dx}}}}{{\sqrt {x + 3} }}} = \frac{{20}}{3}\))

\( \Leftrightarrow \int\limits_1^6 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_1^3 {f\left( u \right)du} + \frac{{20}}{3} \Leftrightarrow \int\limits_1^6 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \frac{{20}}{3}\)

Do đó \(I = \int\limits_3^6 {f\left( x \right)dx} = \frac{{20}}{3}\).