Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham
50/150
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({9^{f\left( x \right)}} + 9m = m \cdot {3^{f\left( x \right)}} + {3^{f\left( x \right) + 2}}\) có đúng 5 nghiệm thực phân biệt?
Ta có \({9^{f\left( x \right)}} + 9m = m \cdot {3^{f\left( x \right)}} + {3^{f\left( x \right) + 2}}\)
\( \Leftrightarrow {3^{2f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right) + 2}} = m\left( {{3^{f\left( x \right)}} - 9} \right)\)\( \Leftrightarrow {3^{f\left( x \right)}}\left( {{3^{f\left( x \right)}} - 9} \right) = m\left( {{3^{f\left( x \right)}} - 9} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{f\left( x \right)}} = 9}\\{{3^{f\left( x \right)}} = m}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 2\quad (1)}\\{f\left( x \right) = {{\log }_3}m}\end{array}} \right.} \right.\)
\((1) \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)
Để phương trình có đúng 5 nghiệm thực phân biệt
\( \Leftrightarrow (2)\) có đúng 3 nghiệm thực khác \( - 2\,;\,\,1\)
\( \Leftrightarrow - 2 < {\log _3}m < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{9} < m < 9\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}\).
Đáp án: 8.