Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

28/40

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

$Dựa vào bảng xét dấu của $k'\left( x \right)$, t (ảnh 1)$

Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

2. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị.

3. Đồ thị hàm số $h\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{f'\left( x \right)}}$ có 3 đường tiệm cận.

4. Đồ thị hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2025$ cắt đường thẳng $y = m$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $g\left( { - 1} \right) < m < \min \left\{ {g\left( { - 3} \right);g\left( 1 \right)} \right\}$.

5. Hàm số $k\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)$ có 3 điểm cực trị.

Giải thích

1. Sai. Bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ như sau

$Dựa vào bảng xét dấu của $k'\left( x \right)$, t (ảnh 2)$

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

2. Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị.

3. Đúng. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{f'\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}} = 0$ nên hàm số $y = h\left( x \right)$ có 1 tiệm cận ngang.

Lại có $f'\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm. Do đó hàm số $y = h\left( x \right)$ có 2 tiệm cận đứng.

Vậy hàm số $y = h\left( x \right)$ có tất cả 3 đường tiệm cận.

4. Sai.

$Dựa vào bảng xét dấu của $k'\left( x \right)$, t (ảnh 3)$

Ta có $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1$;

Có $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1$ (1).

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ và đường thẳng $y = x - 1$.

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta có $x = - 3;x = - 1;x = 1$ là 3 nghiệm của phương trình (1).

Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ như sau

$Dựa vào bảng xét dấu của $k'\left( x \right)$, t (ảnh 4)$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$, ta thấy để đồ thị hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2025$ cắt đường thẳng $y = m$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $\max \left\{ {g\left( { - 3} \right);g\left( 1 \right)} \right\} < m < g\left( { - 1} \right)$.

5. Đúng. Ta có $k'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)$.

Có $k'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x = - 2\\{x^2} - 2x = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của $k'\left( x \right)$

Dựa vào bảng xét dấu của $k'\left( x \right)$, ta có hàm số $y = k\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị. Chọn 3, 5.