Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên [0;3], thỏa mãn

35/50

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên [0;3], thỏa mãn f3−x.fx=1fx≠−1 với mọi x∈0;3 và f0=12. Tính tích phân I=∫03xf'x1+f3−x2.f2xdx.

I=12

I=1

I=32

I=52

Giải thích

Đáp án A

Từ giả thiết f3−x.fx=1fx=12⇒f3=2.

Ta có:1+f3−x2.f2x=fx+f3−x.fx2=fx+12

+ Tính I=∫03xf'x1+fx2dx=−∫03xd11+fx=−x1+fx30+∫0311+fxdx=−1+J

+ Tính J=∫0311+fxdx=t=3−x−∫3011+f3−tdt=∫0311+f3−tdt=∫0311+f3−xdx

⇒2J=∫0311+fxdx+∫0311+f3−xdx=∫03dxf3−x.fx=1=3⇒J=32

Vậy I=∫03xf'x1+f3−x2.f2xdx=12