Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Biết f(2)+f(6)=2f(3). Tập nghiệm của phương trình

31/50

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:$x$$ - \infty $ 1 2 3 4 \( (ảnh 1)$

Biết $f\left( 2 \right) + f\left( 6 \right) = 2f\left( 3 \right).$ Tập nghiệm của phương trình $f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right)$ có số phần tử bằng

Giải thích

Theo đề bài $f\left( 2 \right) + f\left( 6 \right) = 2f\left( 3 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) = f\left( 3 \right) - f\left( 6 \right).$

Do $f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 6 \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( 3 \right) < f\left( 6 \right).$

Do $X = {x^2} + 1 \ge 1.$

Ta có bảng biến thiên

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:$x$$ - \infty $ 1 2 3 4 \( (ảnh 2)$

Xét đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1\left( P \right).$Ta có $f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 3\\{x^2} + 1 = b\left( {4 < b < 6} \right)\left( 2 \right)\end{array} \right..$

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:$x$$ - \infty $ 1 2 3 4 \( (ảnh 3)$

Dựa vào đồ thị $\left( P \right)$ suy ra:

+ Phương trình ${x^2} + 1 = a$ vô nghiệm.

+ Phương trình ${x^2} + 1 = 3$ có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình ${x^2} + 1 = b$ có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình $f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án D.