Cho hàm số y=1/3x^3-(m-1)x^2+(m-3)x+9/2 (m là tham số thực).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 hàm số đã cho

Biện luận m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + \frac{9}{2} =  - 3x + \frac{9}{2}\) (∗)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + mx = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 3(m - 1)x + 3m} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} - 3(m - 1)x + 3m = 0\,\,\,(1)}\end{array}} \right.\)

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + \frac{9}{2}\) cắt đường thẳng \(y =  - 3x + \frac{9}{2}\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt

⇔Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f_{(0)}} = 3m \ne 0}\\{\Delta  = 9{{(m - 1)}^2} - 12m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \frac{1}{3}}\\{m > 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \frac{1}{3}}\\{m > 3}\end{array},m \ne 0} \right.} \right.} \right.\)

Mà m ∈ Z, m ∈ [-5;5] ⇒ m ∈ {−5;−4;−3;−2;−1;4;5}

Có 7 giá trị của m thỏa mãn. Chọn B