Cho hàm số y = |x^3| - mx + 5 (m là tham số). Hỏi hàm số đã cho có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có \(y = {\left| x \right|^3} - mx + 5 = \sqrt {{x^6}} - mx + 5\).
Suy ra \[y' = \frac{{3{x^5}}}{{{{\left| x \right|}^3}}} - m = \frac{{3{x^5} - m{{\left| x \right|}^3}}}{{{{\left| x \right|}^3}}}\] và không có đạo hàm tại \(x = 0\).
• TH1: \(m = 0\), ta có \[y' = \frac{{5{x^5}}}{{{{\left| x \right|}^3}}} = 0\] vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Do đó hàm số có đúng một cực trị.
• TH2: \(m > 0\), ta có \[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^5} = m{\left| x \right|^3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3{x^5} = m{x^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{m}{3}} \].
Do đó hàm số có đúng một cực trị.
• TH3: \(m < 0\), ta có \[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^5} = m{\left| x \right|^3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 0\\3{x^5} = - m{x^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \sqrt { - \frac{m}{3}} \].
Do đó hàm số có đúng một cực trị.
Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số \(m\). Đáp án: 1.