Cho hàm số y = x^3 - 8x^2 + 8x có đồ thị (C) và hàm số y= x^2 + (8-a)x - b

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\({x^3} - 8{x^2} + 8x = {x^2} + \left( {8 - a} \right)x - b \Leftrightarrow {x^3} - 9{x^2} + ax + b = 0\,\,\,(1)\)

Khi đó phương trình (1) có ba nghiệm nằm trong \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\).

Đặt \(f(x) = {x^3} - 9{x^2} + ax + b\) suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 18x + a.\)

Để phương trình (1) có ba nghiệm nằm trong \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\) thì \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 18x + a = 0\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\)\( \Leftrightarrow a =  - 3{x^2} + 18x\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - 1\,;\,\,5} \right]\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) =  - 3{x^2} + 18x\) suy ra \(g'\left( x \right) =  - 6x + 18\), ta có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Bảng biến thiên của \(y = g\left( x \right)\).

Từ BBT, ta có \(15 \le a < 27\) suy ra giá trị nhỏ nhất của \(a\) bằng 15 khi \(x = 5\), khi đó \(b = 25.\)

Vậy tích \(ab = 375.\)

Đáp án: 375.